Da li pripadamo sami sebi?

Za početak nekoliko lakših pitanja:
“Da li je skup svih pužena, puž?”,
“Da li je skup koji sadrži samo Olgu Mirković Maksimović, Olga Mirković Maksimović?”

U oba slučaja odgovor je – Ne (pojašnjenja radi u drugom pitanju sam skup ne može biti ličnost).
Ovakvi skupovi se nazivaju nesvojstvenim skupovima i možemo ih zamisliti veoma lako i pronaći zaista mnogo primera. Pored ovih nesvojstvenih skupova postoje i njima suprotni svojstveni skupovi.

Svojstveni skupovi su oni koji sadrže sami sebe. Njih je malo teže zamisliti, evo nekoliko primera:

a) skup svih skupova,
b) skup svih skupova koji ne sadrže Olgu Mirković Maksimović i sl.

A sada jedno zaista teško pitanje: Da li je skup svih nesvojstvenih skupova svojstven ili nesvojstven skup?
Pokušajte da date bilo kakav odgovor i naći ćete se u paradoksalnoj situaciju. Imaćete posla sa jednim potpuno ludim, otkačenim skupom za koji ne možemo da tvrdimo ni da je svojstven ni da je nesvojstven. Tu se vraćamo na pitanje rekurzije i samopozivanja. I pitanja da li svako od nas pripada sebi samom?

Vekovima matematičari pokušavaju da daju odgovor na ovo pitanje. Jedno od prvih rešenja je izneto u knjizi “Principia Mathematica” u kome su definisani prvo skupovi najnižeg tipa, pa zatim skupovi višeg tipa itd. Suština je da svaki skup mora da pripada određenom tipu i da neki skup datog tipa može da sadrži samo skupove nižeg tipa ili objekte. Za one koji se bave samo teorijom skupova ovo je dovoljno. No gle čuda, ima onih kojima je jednostavno potrebno više i koji postavljaju sasvim čudna pitanja i ne prihvataju odgovore tipa: “Po našoj defniciji to što ti navodiš nije skup…”.

Na kraju su se pametne glave složile u sledećem:

a) Sistemi koje poznajemo su aksiomatski. Uprošćeno to znači da prihvatamo niz aksioma kao temelje sistema ne dovodeći ih u pitanje. Aksiome se ne mogu opovrgnuti niti dokazati. One se moraju prihvatiti.
b) Nijedan aksiomatski sistem ma kakav on bio ne može da proizvede sve istine sem ako nije protivrečan.

Mogućnost dokazivanja je slabiji pojam od istine, bez obzira o kom sistemu se radi.

Na kraju svako od nas mora da izabere aksiome po kojima živi, da prihvati da postoje drugi sistemi i drugačiji izbori i da spozna da nije moguće sve što percipiramo kao “istinu” i dokazati. A da li smo potpuni ili nepotpuni, svojstveni ili ne, ostaje nam da odgovorimo samo sebi.

Kojem skupu vi pripadate?